Exercici 2 · Álgebra Lineal UPC Juny 2015

Exercici 2 (5 punts). Aplicacions lineals, composició i propietats

Siguin dues aplicacions lineals $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ i $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ tals que satisfan:

$\begin{aligned}

f(1,0,0) &= (0,0,1) \\

f(0,1,0) &= (0,1,1) \\

f(0,0,1) &= (k,1,1), \quad k \in \mathbb{R}

\end{aligned}$

$\begin{aligned}

g(1,0,0) &= (0,1,0) \\

g(1,1,0) &= (1,1,1) \\

g(1,1,1) &= (0,0,1)

\end{aligned}$

a.

Troba quin valor hauria de prendre $k$ per a aconseguir que el vector $\vec{x} = (-4,3,-3)$ pertanyi al nucli de l'aplicació $f$. [0,75 punts]

b.

Quin valor hauria de tenir el paràmetre $k$ per tal que l'aplicació $f$ sigui bijectiva? [0,75 punts]

c.

Calcula la matriu que representa la composició $g \circ f$ referida a les bases canòniques, en funció de $k$. [1,5 punts]

d.

Determina una base del nucli de $g \circ f$ segons els valors del paràmetre $k$. [1,5 punts]

e.

Justifica la veracitat o falsedat de la següent afirmació: « Una aplicació lineal $s: M_{2\times 2} \to P_2(x)$ mai no pot ser injectiva ». [0,5 punts]