Examen de Álgebra Lineal UPC 2021 · Parcial E3 (Curs 2021-2022) - 2a Part

Problema 4 (2,5 punts). Subespais vectorials de $\mathbb{R}^4$

Es consideren els següents subespais vectorials de l'espai $\mathbb{R}^4$:

$$F = \left\{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 - 2x_2 + x_3 - 3x_4 = 0,\ 2x_1 - x_2 - x_3 + 3x_4 = 0\right\}$$

$$G = \langle(1,3,0,-2), (7,1,-5,1), (3,1,-2,0)\rangle_{\mathbb{R}}$$

a)

[1 punt] Determineu una base de $F$ i una base de $G$.

b)

[1,25 punts] Calculeu una base del subespai intersecció $F \cap G$.

c)

[0,25 punts] Deduïu la dimensió de la suma $F + G$.

Problema 5 (1,25 punts). Inversibilitat i matriu inversa

Donada la matriu real $A$:$$A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 & -2 \\ -5 & 3 & -7 & 6 \end{pmatrix}$$

Justifiqueu si és invertible i, en cas que ho sigui, determineu la seva matriu inversa $A^{-1}$.

Sí

No

Problema 6 (1,25 punts). Regla de Cramer

Considereu el següent sistema d'equacions lineals:

$\begin{cases}

2x_1 + x_2 = 1 \\

2x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\

x_1 + 2x_2 + x_4 = 5 \\

x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -3

\end{cases}$

Fent servir únicament la Regla de Cramer, justifiqueu que el sistema és compatible determinat i trobeu el valor de la incògnita $x_4$.