Examen de Álgebra UDL 2021 · Primer control (4 d'octubre de 2021)

Problema 1 (4 punts). Propietats de les operacions entre conjunts

Siguin $A$, $B$ i $C$ tres conjunts qualssevol. Justifiqueu si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa, aportant una demostració formal o bé un contraexemple:

a)

[1 punt] $(A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)$.

Certa

Falsa

b)

[3 punts] $A \Delta (B \cup C) = (A \Delta B) \cup C$.

Certa

Falsa

Problema 2 (6 punts). Famílies de vectors binaris i concepte de partició

Es considera el conjunt de les seqüències binàries de longitud $n + 1$:

$$A = \{(a_0, a_1, \dots, a_n): a_j \in \{0, 1\} \text{ per a tot } j = 0, 1, \dots, n\}$$

i la família de subconjunts $\{A_i\}_{i \in I}$, on l'índex prové de $I = \mathbb{N} \cup \{0\}$ i cada conjunt es defineix com:

$$A_i = \left\{(a_0, a_1, \dots, a_n): a_j \in \{0, 1\}, \sum_{j=0}^n a_j = i\right\}$$

a)

[3 punts] Escriviu de manera explícita els conjunts $A_0$, $A_1$ i $A_2$ (suposant $n \ge 2$).

b)

[3 punts] Raoneu si la col·lecció $\{A_i\}_{i \in I}$ constitueix una partició del conjunt $A$.