Examen de Álgebra UDL 2021 · primer parcial novembre 2021

Problema 1 (5 punts). Propietats i composició d'una funció racional

Considereu l'aplicació següent:

$$\begin{aligned} f: \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \frac{2x - 4}{x - 5} \end{aligned}$$

a.

Determineu si $f$ és injectiva:

b.

Determineu si $f$ és exhaustiva:

c.

Trobeu $\operatorname{Im}(f)$:

d.

Calculeu $f^{-1}(-4)$:

e.

Trobeu $f \circ f$ i simplifiqueu l'expressió obtinguda:

Problema 2 (5 punts). Matrius tridiagonals i sistema d'equacions lineals

Sigui $A_n$ una matriu quadrada d'ordre $n$ amb coeficients definits de la manera següent:

$

a_{ij} = \begin{cases}

2 & \text{si } i = j, \\

1 & \text{si } i = j + 1, \\

-1 & \text{si } i = j - 1, \\

0 & \text{altrament.}

\end{cases}

$

a)

(1 punt) Escriviu les matrius $A_2, A_3$ i $A_4$, calculeu els seus determinants i digueu quin és el rang de cada matriu.

$\det(A_2) =$

$\operatorname{rang}(A_2) =$

$\det(A_3) =$

$\operatorname{rang}(A_3) =$

$\det(A_4) =$

$\operatorname{rang}(A_4) =$

b)

(1 punt) Calculeu la matriu inversa $A_3^{-1}$.

c)

(1 punt) Escriviu explícitament la matriu $A_n$.

d)

(2 punts) Discutiu i resoleu si és possible el sistema d'equacions següent:

$

\left\{\begin{aligned}

x + y - z - 2t &= 1, \\

2x + 7y + 3z - 19t + 5u &= -8, \\

x + 3y + z - 8t + 2u &= -3, \\

x - 2y - 4z + 7t - 3u &= 7.

\end{aligned}\right.

$