Problema 2 · Álgebra UDL 2021

Tema: Famílies de conjunts, particions i conjunt de les parts · Del examen Primer control (4 d'octubre de 2021) (2021)

Enunciado

Problema 2 (6 punts). Famílies de vectors binaris i concepte de partició

Es considera el conjunt de les seqüències binàries de longitud n+1n + 1:

A={(a0,a1,…,an):aj∈{0,1} per a tot j=0,1,…,n}A = \{(a_0, a_1, \dots, a_n): a_j \in \{0, 1\} \text{ per a tot } j = 0, 1, \dots, n\}

i la família de subconjunts {Ai}i∈I\{A_i\}_{i \in I}, on l'índex prové de I=N∪{0}I = \mathbb{N} \cup \{0\} i cada conjunt es defineix com:

Ai={(a0,a1,…,an):aj∈{0,1},∑j=0naj=i}A_i = \left\{(a_0, a_1, \dots, a_n): a_j \in \{0, 1\}, \sum_{j=0}^n a_j = i\right\}

a)

[3 punts] Escriviu de manera explícita els conjunts A0A_0, A1A_1 i A2A_2 (suposant n≥2n \ge 2).

b)

[3 punts] Raoneu si la col·lecció {Ai}i∈I\{A_i\}_{i \in I} constitueix una partició del conjunt AA.

Enunciado: Problema 2 · Álgebra UDL 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Escriviu de manera explícita el conjunt A0A_0

Solución: A0={(0,0,…,0)}A_0 = \{(0, 0, \dots, 0)\}

a) Escriviu de manera explícita el conjunt A1A_1

Solución: A1={(1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}A_1 = \{(1, 0, 0, \dots, 0), (0, 1, 0, \dots, 0), \dots, (0, 0, \dots, 0, 1)\}

a) Escriviu de manera explícita el conjunt A2A_2

Solución: A2={(a0,a1,…,an):existeixen 0≤j<k≤n tals que aj=ak=1 i am=0 ∀m∉{j,k}}A_2 = \{(a_0, a_1, \dots, a_n) : \text{existeixen } 0 \le j < k \le n \text{ tals que } a_j = a_k = 1 \text{ i } a_m = 0 \ \forall m \notin \{j, k\}\}

b) Raoneu si la col·lecció {Ai}i∈I\{A_i\}_{i \in I} constitueix una partició del conjunt AA.

Solución: No és una partició de AA, ja que conté conjunts buits (Ai=∅A_i = \emptyset per a tot i≥n+2i \ge n + 2).

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 2 · 2023 · Problema 1 · 2020 ›

Más ejercicios de Famílies de conjunts, particions i conjunt de les parts