Problema 1 · Álgebra UDL 2021

Valor de veritat de les afirmacions a) i b)

Solución: a) Certa; b) Falsa

a. (1 punt) Justificació de $(A \setminus B) \setminus C = A \setminus (B \cup C)$

Solución: Podem utilitzar les definicions de diferència i intersecció amb el complementari respecte a un univers $U$: $$(A \setminus B) \setminus C = (A \cap B^c) \cap C^c = A \cap (B^c \cap C^c) = A \cap (B \cup C)^c = A \setminus (B \cup C)$$

b. (3 punts) Contraexemple de $A \Delta (B \cup C) = (A \Delta B) \cup C$

Solución: Considerem $A = \{1\}$, $B = \emptyset$ i $C = \{1\}$. Membre esquerre: $B \cup C = \{1\}$, per tant $A \Delta (B \cup C) = \{1\} \Delta \{1\} = \emptyset$. Membre dret: $A \Delta B = \{1\} \Delta \emptyset = \{1\}$, de manera que $(A \Delta B) \cup C = \{1\} \cup \{1\} = \{1\}$. Com que $\emptyset \neq \{1\}$, no es compleix.