Examen de Matemàtiques I i II UAB 2011 · curs 2011-2012

Exercici 1. Canvi d'ordre en integral doble

Considereu la integral doble següent:

$$\int_0^5 \int_{\sqrt[5]{\frac{y}{5}}}^1 e^{\frac{5x^6}{6}}\,dx\,dy$$

Representeu la regió d'integració en el pla $xy$ i calculeu el seu valor invertint l'ordre d'integració.

Exercici 2. Integral doble en coordenades polars

Calculeu la integral de la funció $\rho(x, y) = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ sobre el disc de radi $a$ centrat a l'origen:

$$D = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le a^2\right\}$$

Exercici 3. Integral de línia d'un camp vectorial

Calculeu el treball realitzat pel camp vectorial $\vec{F}(x, y) = (y, -x)$ al llarg de la trajectòria parametritzada per:

$$\vec{r}(t) = (R\cos(4\pi t), R\sin(4\pi t)), \quad t \in [0, 2\pi]$$

Exercici 4. Teorema de la divergència de Gauss

Donat el camp vectorial $\vec{F}(x, y, z) = (x^2 - 2x^2y, 2xy^2, -2xz + z)$, calculeu el flux sortint a través de la superfície frontera $S$ del cilindre $V$ definit en coordenades cilíndriques per:

$$0 \le r \le 4, \quad 0 \le \theta \le 2\pi, \quad 0 \le z \le 8$$