Examen de Càlcul UAB 2021 · Primer Parcial - Abril 2021

Pregunta 1 (2 punts). Recta tangent

Trobeu l'equació de la recta tangent a la corba donada per $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ en el valor d'abscissa $x = -1$:

Pregunta 2 (2 punts). Derivada d'una funció composta

Indiqueu quina és l'expressió de la funció derivada de $f(x) = (\sin(\sqrt{x}) + x)^{1/3}$:

Pregunta 3 (2 punts). Equació logarítmica

Trobeu totes les solucions de l'equació:

$$\log_3(1 - 9x^2) - \log_3(1 + 3x) = -2$$

Pregunta 4 (2 punts). Propietats de funcions i derivades

Sigui $f$ una funció dues vegades derivable que té un únic punt crític. Se sap que compleix:

$$f'(0) = f''(0) = 0, \quad f'(1) = 1 \quad \text{i} \quad f'(-1) = -1$$

Aleshores, es pot afirmar amb certesa que:

Pregunta 5 (2 punts). Inequació amb valor absolut

Expresseu en forma d'interval, o reunió d'intervals, el conjunt de tots els nombres reals que verifiquen la desigualtat següent:

$$\left|\frac{2 - x}{1 + x}\right| \le 4$$

Exercici 1 (10 punts). Estudi de la funció f(x) = e^{-x} x^2

Donada la funció $f(x) = e^{-x}x^2$:

a)

Determineu els intervals de creixement i de decreixement de $f$. Indiqueu els seus extrems relatius.

b)

Trobeu els intervals de concavitat i de convexitat de la funció.

c)

Realitzeu un esbós raonat de la gràfica de $f$.

Exercici 2 (10 punts). Límits i aplicació de Bolzano

a)

(5 punts) Calculeu el valor del següent límit:

$$\lim_{x\to 1} \frac{1 - x + \ln x}{1 + \cos(\pi x)}$$

Exercici 2 (10 punts). Límits i aplicació de Bolzano

b)

(5 punts) Demostreu que l'equació $e^x = \frac{e^2}{x^2}$ té exactament una solució en l'interval $(0, \infty)$.