Exercici 2.b · Càlcul UAB 2021

b) (5 punts) Demostreu que l'equació e^x = e^2 / x^2 té exactament una solució en l'interval (0, \infty).

Solución: Definim la funció auxiliar $g(x) = e^x - \frac{e^2}{x^2}$ per a $x \in (0, \infty)$. Trobar les solucions de l'equació equival a trobar els zeros de $g(x)$ en $(0, \infty)$. 1. Existència (Teorema de Bolzano): - La funció $g(x)$ és contínua en tot l'interval $(0, \infty)$ perquè és suma i quocient de funcions contínues amb denominador no nul. - Avaluem en dos punts concrets: - Per a $x = 1$: $g(1) = e^1 - \frac{e^2}{1^2} = e - e^2 = e(1 - e) < 0$ (ja que $e > 1$). - Per a $x = 2$: $g(2) = e^2 - \frac{e^2}{4} = \frac{3}{4}e^2 > 0$. - Com que $g$ és contínua a l'interval tancat $[1, 2]$ i té valors de signe oposat als extrems ($g(1) < 0$ i $g(2) > 0$), pel Teorema de Bolzano existeix almenys un punt $c \in (1, 2) \subset (0, \infty)$ tal que $g(c) = 0$. 2. Unicitat (Monotonia estricta): Calculem la derivada de $g(x)$ per a $x > 0$: $$g'(x) = e^x - e^2(-2x^{-3}) = e^x + \frac{2e^2}{x^3}$$ Atès que per a tot $x \in (0, \infty)$ es compleix $e^x > 0$ i $\frac{2e^2}{x^3} > 0$, tenim: $$g'(x) > 0 \quad \forall x \in (0, \infty)$$ Com que $g$ és estrictament creixent en tot el seu domini, és una funció injectiva i no pot anul·lar-se en més d'un punt. Per tant, l'arrel és única.