Exercici 1 · Càlcul UAB 2021

a. Determineu els intervals de creixement i de decreixement de f. Indiqueu els seus extrems relatius.

Solución: Estrictament decreixent a $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$; estrictament creixent a $(0, 2)$. Mínim relatiu a $(0, 0)$ i màxim relatiu a $(2, 4/e^2)$.

b. Trobeu els intervals de concavitat i de convexitat de la funció.

Solución: Convexa (còncava cap amunt) a $(-\infty, 2-\sqrt{2}) \cup (2+\sqrt{2}, \infty)$; còncava (còncava cap avall) a $(2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})$. Punts d'inflexió a $x = 2 \pm \sqrt{2}$.

c. Realitzeu un esbós raonat de la gràfica de f.

Solución: Gràfica de $f(x)=e^{-x}x^2$ definida a tot $\mathbb{R}$, no-negativa, tallant l'origen $(0,0)$. Baixa des de $+\infty$ quan $x\to -\infty$ fins al mínim en $(0,0)$, puja fins al màxim en $(2, 4/e^2)$, té punts d'inflexió a $x = 2\pm\sqrt{2}$ i tendeix assimptòticament a 0 per la dreta quan $x\to +\infty$.