Examen de Álgebra UAB 2019 · Primer Parcial Àlgebra (Novembre 2019)

Exercici 1 [4 punts]. Nombres complexos i factorització de polinomis

a.

[1 punt] Trobeu el mòdul (norma), l'argument principal i l'invers del nombre complex $z = -1 + \sqrt{3}i$.

b.

[1 punt] Determineu tots els valors de $w \in \mathbb{C}$ que satisfan l'equació $w^4 = -81$.

c.

[2 punts] Descomponeu en factors irreductibles el polinomi $p(x) = x^4 + 81$ tant a $\mathbb{C}[x]$ com a $\mathbb{R}[x]$.

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & 4 & 6 \\ 1 & -1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \in M_{3\times 4}(\mathbb{R})$$

a)

Calculeu la forma canònica reduïda per files (matriu de Gauss-Jordan) $J$ de la matriu $A$ i determineu el rang de $A$.

b)

Trobeu una matriu invertible $P$ que compleixi $PA = J$.

c)

Obtingueu la solució del sistema homogeni $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ expressant el resultat en forma paramètrica. Raoneu si existeix alguna solució particular amb $x = 3$, i si n'hi ha alguna amb $t = 4$.

3 Teoria (2 punts). Qüestions sobre determinants, Gauss-Jordan i sistemes

Indiqueu raonadament si cadascuna de les afirmacions següents és vertadera o falsa, justificant clarament la resposta en cada cas:

a.

[0,7 punts] Siguin $A, B \in M_3(\mathbb{R})$ tals que $\det(A) = 3$ i $\det(B) = 2$. És cert que $\det(2AB^2A^{-1}) = 8$? Per què?

Cert

Fals

3 Teoria (2 punts). Qüestions sobre determinants, Gauss-Jordan i sistemes

Indiqueu raonadament si cadascuna de les afirmacions següents és vertadera o falsa, justificant clarament la resposta en cada cas:

b.

[0,7 punts] Dues matrius diferents de mida $2 \times 2$ tenen sempre formes de Gauss-Jordan diferents.

Vertadera

Falsa

c.

[0,6 punts] Sigui $AX = B$ un sistema d'equacions lineals amb matriu de coeficients $A \in M_n(\mathbb{R})$ i terme independent $B \in M_{n \times 1}(\mathbb{R})$. Si el sistema té solució única, aleshores la matriu $A$ és invertible.

Vertadera

Falsa