Exercici 1 · Álgebra UAB 2019

a. Mòdul (norma) de $z = -1 + \sqrt{3}i$

Solución: 2

a. Argument principal de $z = -1 + \sqrt{3}i$

Solución: $\frac{2\pi}{3}$ rad

a. Invers del nombre complex $z = -1 + \sqrt{3}i$

Solución: $-\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i$

b. Valors de $w \in \mathbb{C}$ que satisfan $w^4 = -81$

Solución: $w_0 = 3e^{i\pi/4} = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}i$, $w_1 = 3e^{i3\pi/4} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}i$, $w_2 = 3e^{i5\pi/4} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}i$, $w_3 = 3e^{i7\pi/4} = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}i$

c. Factorització a $\mathbb{C}[x]$ del polinomi $p(x) = x^4 + 81$

Solución: $p(x) = (x - w_0)(x - w_1)(x - w_2)(x - w_3)$

c. Factorització a $\mathbb{R}[x]$ del polinomi $p(x) = x^4 + 81$

Solución: $p(x) = (x^2 - 3\sqrt{2}x + 9)(x^2 + 3\sqrt{2}x + 9)$