Examen de Estadística I UAB 2021 · Final d'Estadística - Convocatòria de Gener 2021

Model 1 - Pregunta 1: Intervals de confiança i grandària mostral

A partir d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució extreta de la base de dades SABI (exercici 2017), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció en tant per u que suposa el passiu corrent respecte al passiu total). Es disposa de les següents sortides d'inferència en R:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.99)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.7964047 0.8321471

sample estimates:

mean of x

0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates:

mean of x

0.8142759

1. Model 1 - Pregunta 1: Intervals de confiança i grandària mostral

A partir d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució extreta de la base de dades SABI (exercici 2017), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció en tant per u que suposa el passiu corrent respecte al passiu total). Es disposa de les següents sortides d'inferència en R:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.99)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.7964047 0.8321471

sample estimates:

mean of x

0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates:

mean of x

0.8142759

a)

Quina conclusió podem donar a algú que assegura que el valor del percentatge a tota la població és de 0,8000?

b)

Suposant coneguda una desviació tipus poblacional de 0,2, quines dimensions hauria de tenir la mostra per tal de garantir un marge d'error màxim de 0,01 amb nivells de confiança del 99% i del 95%, respectivament?

empreses

empreses

Model 1 - Pregunta 1: Intervals de confiança i grandària mostral

A partir d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució extreta de la base de dades SABI (exercici 2017), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció en tant per u que suposa el passiu corrent respecte al passiu total). Es disposa de les següents sortides d'inferència en R:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.99)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.7964047 0.8321471

sample estimates:

mean of x

0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates:

mean of x

0.8142759

A partir de la mateixa base de dades de 935 empreses, es vol contrastar la relació entre la categoria de distribució ( Codi_activitat) i la solvència a curt termini ( solvent_a_ct, que pren el valor TRUE si l'actiu corrent supera el passiu corrent, i FALSE en cas contrari).

A la sortida del test es reporta: $\chi^2 = 71{,}81947$, $\text{g.l.} = 7$, $p\text{-valor} = 6{,}33 \times 10^{-13}$.

a.

Quins sectors o tipus de distribució sobresurten per presentar una proporció notablement superior o inferior de firmes solvents a curt termini? Justifiqueu-ho a partir dels percentatges de la taula.

b.

Si es compleixen els requisits per calcular-la, proporcioneu una mesura d'associació adequada i interpreteu el seu resultat. Justifiqueu la idoneïtat de la seva aplicació.

3 Model 1 - Pregunta 3: Comparació de proporcions poblacionals i condicions d'aplicació

Model 1 - Pregunta 1: Intervals de confiança i grandària mostral

A partir d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució extreta de la base de dades SABI (exercici 2017), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció en tant per u que suposa el passiu corrent respecte al passiu total). Es disposa de les següents sortides d'inferència en R:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.99)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.7964047 0.8321471

sample estimates:

mean of x

0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates:

mean of x

0.8142759

Emprant les dades de les 935 empreses de distribució, s'estudien les proporcions pertanyents a Equipament de la llar ( Equip_Llar) i Lleure i cultura ( Lleu_Cult) mitjançant els següents resultats:

> t.test(Codi_activitat == "Equip_Llar", conf.level =.99)

One Sample t-test

data: Codi_activitat == "Equip_Llar"

t = 13.676, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.1353565 0.1983334

sample estimates:

mean of x

0.1668449

> t.test(Codi_activitat == "Lleu_Cult", conf.level =.99)

One Sample t-test

data: Codi_activitat == "Lleu_Cult"

t = 7.7869, df = 934, p-value = 1.82e-14

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.04075542 0.08116972

sample estimates:

mean of x

0.06096257 a.

Amb una confiança del 99%, es pot assegurar que a la població hi ha una proporció més elevada d'empreses d'Equipament de la llar que de Lleure i cultura? Justifiqueu la resposta a partir dels intervals de confiança.

b.

Verifiqueu detalladament el compliment de totes les condicions necessàries per a la validesa d'aquests intervals.

Model 1 - Pregunta 1: Intervals de confiança i grandària mostral

A partir d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució extreta de la base de dades SABI (exercici 2017), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció en tant per u que suposa el passiu corrent respecte al passiu total). Es disposa de les següents sortides d'inferència en R:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.99)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.7964047 0.8321471

sample estimates:

mean of x

0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates:

mean of x

0.8142759

4 Model 1 - Pregunta 4: Probabilitat conjunta, condicionada i independència

Una enquesta als alumnes del grau d'Economia sobre ús de tecnologia revela que el $35\%$ posseeix simultàniament un iPhone i un iPad, el $75\%$ té iPhone i el $40\%$ té iPad. Si se selecciona un estudiant a l'atzar, calculeu:

a.

b.

c.

Són estadísticament independents els successos «tenir iPhone» i «tenir iPad»? Justifiqueu la resposta.

Sí

No

Model 1 - Pregunta 1: Intervals de confiança i grandària mostral

A partir d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució extreta de la base de dades SABI (exercici 2017), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció en tant per u que suposa el passiu corrent respecte al passiu total). Es disposa de les següents sortides d'inferència en R:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.99)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.7964047 0.8321471

sample estimates:

mean of x

0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates:

mean of x

0.8142759

5 Model 1 - Pregunta 5: Distribució del pes total i aproximació binomial-normal

Un ascensor d'un centre comercial té una indicació de límit de capacitat: «com a màxim 10 persones, o un màxim de 800 kg». El pes d'un client qualsevol segueix una distribució normal $N(70\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i els pesos dels viatgers són independents entre ells.

a.

b.

Model 2 - Pregunta 2: Taula de contingència i mesura d'associació

A partir de la mateixa base de dades amb 935 empreses, s'analitza la relació entre el sector d'activitat ( Codi_activitat) i la condició de solvència a curt termini ( solvent_a_ct):

Dades del contrast d'independència: $\chi^2 = 81{,}81947$, g.l. $= 7$, $p\text{-valor} = 6{,}33 \times 10^{-13}$.

Model 2 - Pregunta 1: Intervals de confiança i grandària mostral

A partir d'una mostra de 935 empreses de distribució (SABI 2017), s'avalua la variable perc_Passiu_Corrent mitjançant les sortides següents:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.90)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

90 percent confidence interval:

0.8028759 0.8256759

sample estimates:

mean of x

0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

One Sample t-test

data: perc_Passiu_Corrent

t = 117.6, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates:

mean of x

0.8142759

a.

Quina resposta cal donar a una persona que postula que aquest percentatge a la població és exactament de 0,8000?

b.

Suposant una desviació tipus poblacional de 0,25, quines grandàries mostrals caldrien per assolir un marge d'error màxim de 0,01 amb nivells de confiança del 90% i del 95%?

empreses

empreses

Model 2 - Pregunta 2: Taula de contingència i mesura d'associació

A partir de la mateixa base de dades amb 935 empreses, s'analitza la relació entre el sector d'activitat ( Codi_activitat) i la condició de solvència a curt termini ( solvent_a_ct):

Dades del contrast d'independència: $\chi^2 = 81{,}81947$, g.l. $= 7$, $p\text{-valor} = 6{,}33 \times 10^{-13}$.

A partir de la mateixa base de dades amb 935 empreses, s'analitza la relació entre el sector d'activitat ( Codi_activitat) i la condició de solvència a curt termini ( solvent_a_ct):

Dades del contrast d'independència: $\chi^2 = 81{,}81947$, $\text{g.l.} = 7$, $p\text{-valor} = 6{,}33 \times 10^{-13}$.

a)

Quins sectors destaquen per percentatges especialment alts o baixos d'empreses solvents a curt termini? Justifiqueu la resposta numèricament.

b)

Calculeu una mesura adequada d'associació si és possible, justificant la viabilitat del càlcul, i comenteu-ne el resultat obtingut.

Model 2 - Pregunta 2: Taula de contingència i mesura d'associació

A partir de la mateixa base de dades amb 935 empreses, s'analitza la relació entre el sector d'activitat ( Codi_activitat) i la condició de solvència a curt termini ( solvent_a_ct):

Dades del contrast d'independència: $\chi^2 = 81{,}81947$, g.l. $= 7$, $p\text{-valor} = 6{,}33 \times 10^{-13}$.

Model 2 - Pregunta 3: Comparació de proporcions poblacionals i condicions d'aplicació

Emprant les dades de 935 firmes de distribució, s'estudien les proporcions pertanyents a Equipament de la llar ( Equip_Llar) i a Distribució general ( General):

> t.test(Codi_activitat == "Equip_Llar", conf.level =.99)

One Sample t-test

data: Codi_activitat == "Equip_Llar"

t = 13.676, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.1353565 0.1983334

sample estimates:

mean of x

0.1668449

> t.test(Codi_activitat == "General", conf.level =.99)

One Sample t-test

data: Codi_activitat == "General"

t = 14.199, df = 934, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

99 percent confidence interval:

0.1452672 0.2098130

sample estimates:

mean of x

0.1775401

Codi_activitat

Frequency

Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleure_Cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_Cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

a)

Amb un 99% de confiança, es pot sostenir que a la població hi ha menys empreses d'Equipament de la llar que de Distribució general?

b)

Comproveu el compliment de les condicions d'aplicabilitat d'aquests intervals.

Model 2 - Pregunta 2: Taula de contingència i mesura d'associació

A partir de la mateixa base de dades amb 935 empreses, s'analitza la relació entre el sector d'activitat ( Codi_activitat) i la condició de solvència a curt termini ( solvent_a_ct):

Dades del contrast d'independència: $\chi^2 = 81{,}81947$, g.l. $= 7$, $p\text{-valor} = 6{,}33 \times 10^{-13}$.

Model 2 - Pregunta 4: Probabilitat conjunta, condicionada i independència

Segons una enquesta als estudiants del grau d'Economia, el 30% disposa d'iPhone i iPad alhora, el 75% té iPhone i el 40% disposa d'iPad. Triant un alumne aleatòriament, determineu:

a.

La probabilitat que no disposi de cap d'aquests dos aparells.

b.

Si se sap que té iPhone, quina és la probabilitat que també tingui iPad?

c.

Són independents entre ells els fets de «tenir iPhone» i «tenir iPad»?

Sí

No

Model 2 - Pregunta 2: Taula de contingència i mesura d'associació

A partir de la mateixa base de dades amb 935 empreses, s'analitza la relació entre el sector d'activitat ( Codi_activitat) i la condició de solvència a curt termini ( solvent_a_ct):

Dades del contrast d'independència: $\chi^2 = 81{,}81947$, g.l. $= 7$, $p\text{-valor} = 6{,}33 \times 10^{-13}$.

Un ascensor té fixada una càrrega màxima de «com a màxim 10 persones, o com a màxim 800 kg». El pes individual dels clients respon a una distribució normal $N(75\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i es consideren pesos independents.

a)

Quina probabilitat hi ha que un grup format per 10 usuaris sobrepassi el límit de pes de l'ascensor?

b)

Si en un moment concret coincideixen 300 compradors al centre i la probabilitat individual de pujar a l'ascensor en aquell instant és de 0,04, quina probabilitat hi ha que com a molt 10 persones vulguin utilitzar l'ascensor alhora?