Examen de Estadística I UAB 2021 · Juny

Exercici 1 (2,5 punts). Contrast sobre la proporció d'empreses sancionades

Els inspectors de treball han sancionat per incompliment de la normativa de prevenció de riscos laborals un total de 33 empreses dins d'una mostra de 120 empreses escollides mitjançant mostreig aleatori simple. L'administració laboral sosté la hipòtesi que la proporció d'empreses infractores sancionades és del 0,15. Tenint en compte aquestes dades, responeu a les següents qüestions:

a.

Calculeu la proporció mostral d'empreses sancionades. (0,25 punts)

b.

Formuleu les hipòtesis nul·la i alternativa escaients per sotmetre a contrast l'afirmació anterior. (0,25 punts)

c.

Verifiqueu el compliment de les condicions i supòsits necessaris per dur a terme el contrast d'hipòtesi. (0,5 punts)

d.

Resoleu el contrast amb un nivell de significació del 5% ($\alpha = 0,05$). Especifiqueu clarament l'estadístic de prova emprat, la distribució mostral de referència i la conclusió extreta. (0,75 punts)

e.

L'interval de confiança al 95% per a la proporció poblacional resulta congruent amb el resultat del contrast efectuat? Obtingueu l'interval i justifiqueu la resposta. (0,75 punts)

Exercici 2 (2,5 punts). Anàlisi de taula de contingència entre pràctica esportiva i sexe

S'ha dut a terme una enquesta a una mostra de 766 individus amb l'objectiu d'estudiar l'associació entre la modalitat d'activitat física realitzada i el gènere dels participants. Els resultats de la taula de contingència obtinguda són els següents:

Atesa aquesta informació, responeu:

a.

Plantegeu el contrast estadístic per determinar si existeix relació entre les dues variables a escala poblacional, explicitant la hipòtesi nul·la i l'alternativa. (0,25 punts)

b.

Indiqueu i comproveu els supòsits necessaris per a la validesa d'aquest contrast. (0,25 punts)

c.

Resoleu el contrast utilitzant el criteri del valor crític amb un risc d'error de tipus I del 5%. Indiqueu l'estadístic de prova i el seu valor. (1 punt)

d.

En cas d'existir dependència entre ambdues variables, avalueu la intensitat d'aquesta relació calculant el coeficient d'associació pertinent. (0,5 punts)

e.

Identifiqueu quines disciplines esportives mostren major afinitat amb els homes i quines amb les dones a partir de les freqüències i proporcions de la taula. (0,5 punts)

Exercici 3 (2,5 punts). Model de regressió lineal múltiple sobre fidelització del client

A partir del model European Customer Satisfaction Index (ECSI), s'estudia la fidelitat del client (variable dependent LOYA) en una mostra d'usuaris a partir de les dimensions següents (totes valorades en una escala d'1 a 10):

SATI: Satisfacció del client.

QUAL1: Qualitat percebuda del producte.

QUAL2: Qualitat percebuda del servei.

VALU: Valor percebut qualitat/preu.

IMAG: Imatge corporativa de la marca.

S'estima per mínims quadrats ordinaris el model següent a R:

> summary(model1a)

Coefficients

Estimate

Std. Error

t value

Pr(>|t|)

(Intercept)

0.69176

0.44277

1.562

0.1195

QUAL1

0.17574

0.09220

1.906

0.0579.

QUAL2

-0.01528

0.08010

-0.191

0.8489

IMAG

0.44023

0.08747

5.033

9.52e-07 ***

VALU

-0.01693

0.07267

-0.233

0.8160

SATI

0.33381

0.10259

3.254

0.0013 **

Dades addicionals del resum: Residual standard error: 1.212 on 238 degrees of freedom; Multiple R-squared: 0.5739; F-statistic: 64.12 on 5 and 238 DF, p-value: < 2.2e-16.

A continuació, s'adjunten els gràfics de diagnòstic dels residus:

Responeu raonadament a les qüestions:

a.

Especifiqueu l'equació del model de regressió lineal que s'ha estimat. [0,25 punts]

b.

Realitzeu el diagnòstic del compliment dels supòsits bàsics del model a partir dels gràfics residuals aportats. [0,75 punts]

c.

És el model globalment significatiu? Indiqueu les hipòtesis, resoleu el contrast mitjançant el p-valor amb un nivell de significació de l'1% ($\\alpha = 0,01$) i interpreteu el resultat. [0,25 punts]

d.

És la variable QUAL1 estadísticament significativa al 10% de risc ($\\alpha = 0,10$)? Formuleu les hipòtesis, calculeu l'estadístic de contrast i resoleu mitjançant el mètode del valor crític. [0,5 punts]

e.

Calculeu i interpreteu el coeficient de determinació ajustat ($\\bar{R}^2$). [0,25 punts]

f.

Construïu un interval de confiança al 95% per al coeficient poblacional de la variable SATI i interpreteu-ne el significat econòmic. [0,5 punts]

Exercici 4 (2,5 punts). Multicol·linealitat i comparació de models en regressió lineal

Continuant amb la base de dades de l'exercici anterior, es disposa de la matriu de correlacions de les variables independents, així com de la comparació entre el model complet ( model1a) i un model reduït sense QUAL2 ni VALU ( model1b):

> cor(exercici_ecsi[,c("QUAL1","QUAL2","IMAG","VALU","SATI")])

QUAL1 QUAL2 IMAG VALU SATI

QUAL1 1.0000000 0.7688930 0.7539064 0.7446870 0.8346330

QUAL2 0.7688930 1.0000000 0.7312599 0.6659197 0.7343667

IMAG 0.7539064 0.7312599 1.0000000 0.7185771 0.7872128

VALU 0.7446870 0.6659197 0.7185771 1.0000000 0.7586731

SATI 0.8346330 0.7343667 0.7872128 0.7586731 1.0000000

> model1a<-lm(LOYA~QUAL1+QUAL2+IMAG+VALU+SATI)

> summary(model1a)

Call:

lm(formula = LOYA ~ QUAL1 + QUAL2 + IMAG + VALU + SATI)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-8.3100 -0.4207 0.1527 0.6585 3.5055

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 0.69176 0.44277 1.562 0.1195

QUAL1 0.17574 0.09220 1.906 0.0579.

QUAL2 -0.01528 0.08010 -0.191 0.8489

IMAG 0.44023 0.08747 5.033 9.52e-07 ***

VALU -0.01693 0.07267 -0.233 0.8160

SATI 0.33381 0.10259 3.254 0.0013 **

---

Signif. codes: 0 '*' 0.001 '' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.212 on 238 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.5739, Adjusted R-squared: 0.565

F-statistic: 64.12 on 5 and 238 DF, p-value: < 2.2e-16

> vif(model1a)

QUAL1 QUAL2 IMAG VALU SATI

4.275423 2.872994 3.250857 2.774197 4.409231

A partir d'aquestes sortides, responeu:

a)

Efectueu un diagnòstic detallat de la possible multicol·linealitat en el model complet ( model1a), fent ús de totes les eines estadístiques disponibles a les sortides. [0,75 punts]

b)

Identifiqueu quin problema d'especificació es podria plantejar en el model1a pel que fa a la rellevància d'algunes variables. Com es podria resoldre i quines conseqüències té per a les propietats dels estimadors? [0,75 punts]

c)

Al model1b s'han exclòs les variables QUAL2 i VALU. Realitzeu el contrast d'hipòtesi oportú per decidir quin dels dos models ( model1a o model1b) és preferible. Especifiqueu les hipòtesis, calculeu l'estadístic mitjançant la fórmula d'$R^2$ i resoleu pel mètode del valor crític amb un nivell de confiança del 95%. [1 punt]