Examen de Matemáticas II UAB 2014 · Juny

Problema 1 (3 puntos). Topología, curvas de nivel y optimización en $\mathbb{R}^2$

Dado el conjunto de puntos en el plano:

$$S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 0,\, y \ge 0,\, y \ge x,\, y \le 1 - x\}$$

y la función escalar dada por:

$$f(x,y) = (x - 2)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2$$

a)

[1,5 puntos] Representa gráficamente el recinto $S$ y determina, justificando cada respuesta, si se trata de un conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto y/o convexo.

Propiedades topológicas de $S$

Propiedad

¿Se cumple?

Justificación breve

¿Es abierto?

Sí

No

¿Es cerrado?

Sí

No

¿Es acotado?

Sí

No

¿Es compacto?

Sí

No

¿Es convexo?

Sí

No

b)

[0,5 puntos] Justifica si existe garantía teórica de la existencia de máximos y mínimos absolutos de $f(x,y)$ sobre el dominio $S$.

c)

[1 punto] Dibuja las curvas de nivel asociadas a la función $f(x,y)$ y localiza gráficamente los máximos y mínimos globales de $f$ dentro del dominio $S$.

$x_0 =$

$y_0 =$

$x =$

$y =$

$f_{\min} =$

Punto 1:

$x_1 =$

$y_1 =$

Punto 2:

$x_2 =$

$y_2 =$

$f_{\max} =$

Figuras de referencia para los apartados (a) y (c):

Problema 2 (3 puntos). Teorema de la función implícita y derivada direccional

Considera la función escalar $g(x, y, z) = 1 + x - y + 3z - e^{2x - 2y + z}$.

a.

(0,5 puntos) Comprueba que el punto $P = (1, 1, 0)$ satisface la ecuación $g(x, y, z) = 0$.

b.

(1 punto) Justifica si es posible despejar de forma unívoca en un entorno de $P$ la variable $z$ como función diferenciable de las variables $x$ e $y$, esto es, $z = \phi(x, y)$.

c.

(0,5 puntos) Determina el gradiente de la función implícita en dicho punto, calculando $\frac{\partial \phi}{\partial x}(1, 1)$ y $\frac{\partial \phi}{\partial y}(1, 1)$.

d.

(1 punto) Halla la derivada direccional de $\phi(x, y)$ en el punto $(1, 1)$ en la dirección y sentido señalados por el vector $\vec{v} = (3, 4)$, e interpreta el significado del valor obtenido.

Problema 3 (4 puntos). Optimización con restricciones y problema del consumidor

Un consumidor tiene una función de utilidad $u(x, y) = \sqrt{x}\sqrt{y}$, siendo $x$ la cantidad consumida de vino e $y$ la cantidad de pan. Los precios unitarios de mercado son $p_x = 3$ para el vino y $p_y = 1$ para el pan. La renta monetaria total de la que dispone es $M = 20$ unidades monetarias. El consumidor pretende maximizar su nivel de utilidad agotando por completo su renta en ambos bienes.

a.

(1 punto) Representa en una gráfica y señala de forma aproximada la cesta de consumo $(x^*, y^*)$ que resuelve el problema del consumidor.

$x^* \approx$

$y^* \approx$

b.

(1 punto) Determina gráficamente si el consumidor podría alcanzar un nivel superior de utilidad si su renta se duplicase a $M = 40$ y al mismo tiempo el gobierno fijara un impuesto que duplicase el precio del pan ($p_y = 2$).

c.

(2 puntos) Formula el problema y aplica el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar analíticamente la solución óptima $(x^*, y^*)$ del apartado (a), comprobando previamente la aplicabilidad del teorema. Razona por qué la solución hallada es un máximo global.

$x^* =$

$y^* =$