Examen de Matemáticas II UAB 2016 · Juny

Ejercicio 1 (4 puntos). Cálculo multivariable y función implícita

Se considera la función escalar:

$$F(x, y, z) = e^{z+y^2} + x^3 y^4 z^5$$

a.

Calcula las derivadas parciales de primer orden de $F$ con respecto a $x$, $y$ y $z$.

b.

Determina el valor de la derivada direccional en el punto $P = (1, 1, -1)$ según la dirección del vector $\vec{v} = (1, 0, 0)$.

Ejercicio 1 (4 puntos). Cálculo multivariable y función implícita

Se considera la función escalar:

$$F(x, y, z) = e^{z+y^2} + x^3 y^4 z^5$$

c.

Justifica formalmente si resulta posible despejar la variable $z$ en función de $x$ e $y$ a partir de la ecuación $F(x, y, z) = 0$ en un entorno de dicho punto $P = (1, 1, -1)$ (es decir, si existe una función diferenciable $z = z(x, y)$).

d.

Obtén el valor de las derivadas parciales de la función implícita en $(1, 1)$:

$$\frac{\partial z}{\partial x}(1, 1) \quad \text{y} \quad \frac{\partial z}{\partial y}(1, 1)$$

El coste que asume una empresa para elaborar $x$ e $y$ unidades de dos bienes está modelizado por la función:

$$C(x, y) = \frac{1}{100}x^2 - 10x + \frac{1}{300}y^3 - 9y + 20600$$

a.

Encuentra los niveles de producción $x$ e $y$ que hacen mínima dicha función de costes $C(x, y)$. Argumenta la conclusión haciendo uso de las condiciones de segundo orden.

b.

Expresa (sin necesidad de realizar el cálculo numérico) el coste total correspondiente a los niveles óptimos encontrados en el apartado previo.

Ejercicio 3 (3 puntos). Optimización condicionada con el método de Lagrange

Se plantea el problema de optimización con restricciones:

$$\begin{cases} \text{Optimizar} & f(x,y) = x^2 - 2x + 2y \\ \text{sujeto a} & (x-1)^2 + y^2 = 4 \end{cases}$$

a)

Emplea el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar y clasificar todos los máximos y mínimos condicionados locales.

b)

Demuestra que el problema posee necesariamente máximos y mínimos globales. Determina cuáles son los valores extremos absolutos de la función objetivo sobre el conjunto factible utilizando los puntos calculados.