Ejercicio 2 · Matemáticas II UAB Juny 2016

Tema: Formas cuadráticas y optimización libre de funciones de varias variables · Del examen Juny (2016)

Enunciado

El coste que asume una empresa para elaborar xx e yy unidades de dos bienes está modelizado por la función:

C(x,y)=1100x2−10x+1300y3−9y+20600C(x, y) = \frac{1}{100}x^2 - 10x + \frac{1}{300}y^3 - 9y + 20600

a.

Encuentra los niveles de producción xx e yy que hacen mínima dicha función de costes C(x,y)C(x, y). Argumenta la conclusión haciendo uso de las condiciones de segundo orden.

b.

Expresa (sin necesidad de realizar el cálculo numérico) el coste total correspondiente a los niveles óptimos encontrados en el apartado previo.

Enunciado: Ejercicio 2 · Matemáticas II UAB Juny 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Encuentra el nivel de producción x que hace mínima dicha función de costes

Solución: 500

a. Encuentra el nivel de producción y que hace mínima dicha función de costes

Solución: 30

a. Argumenta la conclusión haciendo uso de las condiciones de segundo orden

Solución: En P1=(500,30)P_1 = (500, 30), HC(P1)=(1/500030/50)H_C(P_1) = \begin{pmatrix} 1/50 & 0 \\ 0 & 30/50 \end{pmatrix}. M1=1/50>0M_1 = 1/50 > 0 y M2=30/2500>0M_2 = 30/2500 > 0, la matriz es definida positiva, por lo que es un mínimo local (y x,y>0x, y > 0). En P2=(500,−30)P_2 = (500, -30), ∣HC∣<0|H_C| < 0 (punto de silla).

b. Expresa (sin necesidad de realizar el cálculo numérico) el coste total correspondiente a los niveles óptimos encontrados en el apartado previo

Solución: C(500, 30) / min C(x, y) = C(500, 30)

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