Ejercicio 3 · Matemáticas II UAB Juny 2016

Tema: Optimización con restricciones: multiplicadores de Lagrange · Del examen Juny (2016)

Enunciado

Ejercicio 3 (3 puntos). Optimización condicionada con el método de Lagrange

Se plantea el problema de optimización con restricciones:

{Optimizarf(x,y)=x2−2x+2ysujeto a(x−1)2+y2=4\begin{cases} \text{Optimizar} & f(x,y) = x^2 - 2x + 2y \\ \text{sujeto a} & (x-1)^2 + y^2 = 4 \end{cases}

a)

Emplea el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar y clasificar todos los máximos y mínimos condicionados locales.

b)

Demuestra que el problema posee necesariamente máximos y mínimos globales. Determina cuáles son los valores extremos absolutos de la función objetivo sobre el conjunto factible utilizando los puntos calculados.

Enunciado: Ejercicio 3 · Matemáticas II UAB Juny 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Puntos que son mínimos condicionados locales

Solución: P1=(1,2)P_1 = (1, 2) con λ=1/2\lambda = 1/2, y P2=(1,−2)P_2 = (1, -2) con λ=−1/2\lambda = -1/2

a) Puntos que son máximos condicionados locales

Solución: P3=(1+3,1)P_3 = (1+\sqrt{3}, 1) con λ=1\lambda = 1, y P4=(1−3,1)P_4 = (1-\sqrt{3}, 1) con λ=1\lambda = 1

b) Demuestra que el problema posee necesariamente máximos y mínimos globales

Solución: Por el Teorema de Weierstrass, al ser f continua y el conjunto factible compacto (cerrado y acotado), existen extremos absolutos.

b) Valor del mínimo absoluto de la función objetivo

Solución: -5

b) Valor del máximo absoluto de la función objetivo

Solución: 4

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