Ejercicio P1 · Matemáticas II UAB 2015

a) Classificació topològica del conjunt A: obert, tancat, fitat, compacte, convex; b) Opció de justificació de Weierstrass

Solución: Obert: No; Tancat: Sí; Fitat: Sí; Compacte: Sí; Convex: Sí. Assoleix tant màxim com mínim absolut pel Teorema de Weierstrass.

a) Justificació de les propietats topològiques de A

Solución: A no és obert perquè conté la seva frontera. És tancat per estar definit per desigualtats febles de funcions contínues. És fitat ja que està contingut a B((0,0), 3). És compacte per Heine-Borel (tancat i fitat). És convex per ser intersecció de dos conjunts convexos.

b) Justificació teòrica de l'existència d'extrems

Solución: La funció f(x,y) és polinòmica i contínua a tot R^2. El conjunt A és compacte (tancat i fitat) i no buit. Pel Teorema de Weierstrass, f assoleix necessàriament tant un màxim absolut com un mínim absolut a A.

c) Punt on s'assoleix el mínim absolut

Solución: (-3/√2, -3/√2) / (-3/sqrt(2), -3/sqrt(2))

c) Punts on s'assoleixen els màxims absoluts

Solución: (-3/√2, 3/√2) i (3/√2, -3/√2) / (-3/sqrt(2), 3/sqrt(2)), (3/sqrt(2), -3/sqrt(2))

c) Desenvolupament i raonament geomètric amb les corbes de nivell

Solución: Les corbes de nivell són circumferències concèntriques centrades a (-5, -5). El mínim és el punt de contacte més proper (a y = x amb el cercle, (-3/√2, -3/√2)). Els màxims són els punts d'intersecció del cercle x^2 + y^2 = 9 amb la recta y = -x, donant (-3/√2, 3/√2) i (3/√2, -3/√2).