Problema 1 · Matemáticas II UAB Juny 2014

Tema: Funciones de varias variables: dominio, curvas de nivel y conjuntos · Del examen Juny (2014)

Enunciado

Problema 1 (3 puntos). Topología, curvas de nivel y optimización en R2\mathbb{R}^2

Dado el conjunto de puntos en el plano:

S={(x,y)∈R2∣x≥0, y≥0, y≥x, y≤1−x}S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 0,\, y \ge 0,\, y \ge x,\, y \le 1 - x\}

y la función escalar dada por:

f(x,y)=(x−2)2+(y−12)2f(x,y) = (x - 2)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2

a)

[1,5 puntos] Representa gráficamente el recinto SS y determina, justificando cada respuesta, si se trata de un conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto y/o convexo.

Propiedades topológicas de SS

Propiedad

¿Se cumple?

Justificación breve

¿Es abierto?

Sí

No

¿Es cerrado?

Sí

No

¿Es acotado?

Sí

No

¿Es compacto?

Sí

No

¿Es convexo?

Sí

No

b)

[0,5 puntos] Justifica si existe garantía teórica de la existencia de máximos y mínimos absolutos de f(x,y)f(x,y) sobre el dominio SS.

c)

[1 punto] Dibuja las curvas de nivel asociadas a la función f(x,y)f(x,y) y localiza gráficamente los máximos y mínimos globales de ff dentro del dominio SS.

x0=x_0 =

y0=y_0 =

x=x =

y=y =

fmin⁡=f_{\min} =

Punto 1:

x1=x_1 =

y1=y_1 =

Punto 2:

x2=x_2 =

y2=y_2 =

fmax⁡=f_{\max} =

Figuras de referencia para los apartados (a) y (c):

Enunciado: Problema 1 · Matemáticas II UAB Juny 2014

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Propiedades topológicas de S (¿abierto, cerrado, acotado, compacto, convexo?)

Solución: Abierto: No; Cerrado: Sí; Acotado: Sí; Compacto: Sí; Convexo: Sí

a. Justificación: ¿Por qué no es abierto?

Solución: Contiene puntos de su frontera como (0,0), cualquier entorno abierto contiene puntos fuera de S.

a. Justificación: ¿Por qué es cerrado?

Solución: Las desigualdades que lo definen son no estrictas con funciones continuas, contiene toda su frontera.

a. Justificación: ¿Por qué es acotado?

Solución: Está contenido en una bola finita centrada en el origen ya que 0 <= x <= 1/2 y 0 <= y <= 1.

a. Justificación: ¿Por qué es compacto?

Solución: Por ser un subconjunto cerrado y acotado en R^2 por el teorema de Heine-Borel.

a. Justificación: ¿Por qué es convexo?

Solución: Es la intersección de semiespacios lineales cerrados, que son convexos.

b. Justifica si existe garantía teórica de la existencia de máximos y mínimos absolutos de f(x,y) sobre el dominio S.

Solución: Por el Teorema de Weierstrass, al ser f una función continua y S un conjunto compacto, existen máximo y mínimo absolutos.

c. Centro de las circunferencias de nivel - coordenada x0

Solución: 2

c. Centro de las circunferencias de nivel - coordenada y0

Solución: 1/2 / 0.5

c. Punto de mínimo absoluto - coordenada x

Solución: 1/2 / 0.5

c. Punto de mínimo absoluto - coordenada y

Solución: 1/2 / 0.5

c. Valor mínimo absoluto f_min

Solución: 9/4 / 2.25

c. Punto 1 de máximo absoluto - coordenada x

Solución: 0

c. Punto 1 de máximo absoluto - coordenada y

Solución: 0 / 1

c. Punto 2 de máximo absoluto - coordenada x

Solución: 0

c. Punto 2 de máximo absoluto - coordenada y

Solución: 1 / 0

c. Valor máximo absoluto f_max

Solución: 17/4 / 4.25

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