Problema 3 · Matemáticas II UAB Juny 2014

a. Valor aproximado de $x^*$ señalado en la gráfica

Solución: $10/3$ / $3{,}33$

a. Valor aproximado de $y^*$ señalado en la gráfica

Solución: $10$

b. (1 punto) Determina gráficamente si el consumidor podría alcanzar un nivel superior de utilidad si su renta se duplicase a $M = 40$ y al mismo tiempo el gobierno fijara un impuesto que duplicase el precio del pan ($p_y = 2$).

Solución: Sí, el consumidor sí puede incrementar su nivel de utilidad.

c. (2 puntos) Planteamiento formal, condiciones de aplicabilidad y justificación de máximo global

Solución: Planteamiento: $\max u(x,y)=x^{1/2}y^{1/2}$ sujeto a $3x+y=20$, $x\ge 0, y\ge 0$. El conjunto factible es compacto (teorema de Weierstrass) y $\nabla g(x,y)=(3,1)\ne (0,0)$. En la frontera la utilidad es 0, por lo que el punto crítico interior es máximo global.

c. Valor analítico óptimo de $x^*$

Solución: $10/3$ / $3{,}33$

c. Valor analítico óptimo de $y^*$

Solución: $10$

a. (1 punto) Representa en una gráfica y señala de forma aproximada la cesta de consumo $(x^*, y^*)$ que resuelve el problema del consumidor.

Solución: La cesta óptima $(x^*, y^*)$ corresponde gráficamente al punto de tangencia entre la recta de balance presupuestario $3x + y = 20$ y la curva de indiferencia más alejada del origen $(\sqrt{x}\sqrt{y} = k)$. La tangencia ocurre en el punto de coordenadas aproximadas $x^* \approx 3{,}33$ e $y^* = 10$.