Examen de Matemáticas II UAB 2014 · primer parcial marzo 2014

Ejercicio 1 (6 puntos). Estudio topológico, curvas de nivel y optimización de una función de dos variables

Se considera la función escalar de dos variables:

$$f(x,y) = \ln(3x + y + 1)$$

Se pide responder a los siguientes apartados:

a.

[1 punto] Determinar analíticamente el dominio de definición de la función, $D_f$, y esbozar su representación gráfica en el plano cartesiano.

b.

[1 punto] Justificar de forma razonada las propiedades topológicas del conjunto $D_f$: si es abierto, cerrado, acotado, compacto y/o convexo.

Abierto

Cerrado

Acotado

Compacto

Convexo

c.

[2 puntos] Obtener la expresión general de las curvas de nivel asociadas a $f(x,y)$ y representarlas gráficamente para distintos valores del nivel.

d.

[2 puntos] Sea el conjunto $A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \ge 0,\, y \ge 0,\, x + y \le 10\}$. Representar gráficamente dicho conjunto y clasificarlo topológicamente (abierto, cerrado, acotado, etc.). Dibujar sobre el mismo gráfico la curva de nivel de $f(x,y)$ que alcance el mayor valor posible dentro de $A$.

Abierto

Cerrado

Acotado

Compacto

Convexo

Ejercicio 2 (4 puntos). Clasificación y resolución por Cramer de un sistema lineal con parámetro

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$:

$$\begin{cases} 3x + 2y + az = 1 \\ 5x - y - 2z = 2 \\ x + 3y - z = 3 \end{cases}$$

Se pide:

a.

(2 puntos) Discutir y clasificar el sistema según los distintos valores del parámetro $a$.

b.

(2 puntos) En caso de ser posible, resolver el sistema para $a = -4$ empleando la regla de Cramer.