Pregunta 3 - Diferenciabilidad · Matemáticas II UAB 2013

Tema: Derivadas parciales, gradiente y derivada direccional · Del examen Examen Segundo Parcial - Mayo 2013 (2013)

Enunciado

Un consumidor tiene como función de utilidad u(x,y)=x⋅yu(x, y) = x \cdot y, donde xx denota la cantidad consumida de Coca-Cola e yy la cantidad de galletas. El precio por unidad de Coca-Cola es de 2 euros y el de galletas es de 10 euros. El presupuesto semanal asciende a 50 euros. En consecuencia, el conjunto de oportunidades presupuestarias viene descrito por:

R={(x,y)∈R2∣2x+10y≤50, x≥0, y≥0}R = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 2x + 10y \le 50,\, x \ge 0,\, y \ge 0\right\}

d. Demuestre que la función de utilidad es diferenciable en cualquier punto del plano (x,y)(x, y).

Enunciado: Pregunta 3 - Diferenciabilidad · Matemáticas II UAB 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

d. Demuestre que la función de utilidad es diferenciable en cualquier punto del plano (x,y)(x, y).

Solución: Las derivadas parciales ∂u∂x=y\frac{\partial u}{\partial x} = y y ∂u∂y=x\frac{\partial u}{\partial y} = x existen y son continuas en todo R2\mathbb{R}^2, por lo que uu es de clase C1C^1 y, por tanto, diferenciable en todo R2\mathbb{R}^2.

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