Pregunta 3 - Optimización con restricciones · Matemáticas II UAB 2013

Tema: Optimización con restricciones: multiplicadores de Lagrange · Del examen Examen Segundo Parcial - Mayo 2013 (2013)

Enunciado

Un consumidor tiene como función de utilidad u(x,y)=x⋅yu(x, y) = x \cdot y, donde xx denota la cantidad consumida de Coca-Cola e yy la cantidad de galletas. El precio por unidad de Coca-Cola es de 2 euros y el de galletas es de 10 euros. El presupuesto semanal asciende a 50 euros. En consecuencia, el conjunto de oportunidades presupuestarias viene descrito por:

R={(x,y)∈R2∣2x+10y≤50, x≥0, y≥0}R = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 2x + 10y \le 50,\, x \ge 0,\, y \ge 0\right\}

a.

Justifique teóricamente que la función de utilidad alcanza un máximo absoluto en la región presupuestaria RR y describa gráficamente la situación.

b.

Obtenga el vector gradiente de uu en el punto (x0,y0)=(12.5,2.5)(x_0, y_0) = (12.5, 2.5) y verifique que resulta ortogonal a la recta presupuestaria.

(,)

c.

A partir de la ortogonalidad probada en el apartado anterior, razone por qué el punto (12.5,2.5)(12.5, 2.5) es la solución óptima (máximo) del problema en el conjunto RR.

Enunciado: Pregunta 3 - Optimización con restricciones · Matemáticas II UAB 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Justifique teóricamente que la función de utilidad alcanza un máximo absoluto en la región presupuestaria RR y describa gráficamente la situación.

Solución: El conjunto presupuestario RR es compacto (cerrado y acotado) y u(x,y)u(x, y) es continua en RR, por lo que el Teorema de Weierstrass garantiza la existencia de un máximo global.

b. Componente horizontal del gradiente ∂u/∂x(12.5,2.5)\partial u/\partial x(12.5, 2.5)

Solución: 2.5

b. Componente vertical del gradiente ∂u/∂y(12.5,2.5)\partial u/\partial y(12.5, 2.5)

Solución: 12.5

b. Verificación de ortogonalidad del gradiente a la recta presupuestaria

Solución: ∇u(12.5,2.5)⋅v⃗=(2.5,12.5)⋅(−10,2)=0\nabla u(12.5, 2.5) \cdot \vec{v} = (2.5, 12.5) \cdot (-10, 2) = 0

c. A partir de la ortogonalidad probada en el apartado anterior, razone por qué el punto (12.5,2.5)(12.5, 2.5) es la solución óptima (máximo) del problema en el conjunto RR.

Solución: La ortogonalidad implica tangencia entre la curva de indiferencia y la recta presupuestaria; por convexidad de las preferencias, dicho punto maximiza la utilidad en R.

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