Examen de Matemáticas I UAB 2017 · Parcial Octubre 2017

Donades les tres funcions reals següents:

$$f(x) = \ln(1 - x),\quad g(x) = \left|\frac{1}{x}\right|,\quad h(x) = x^2$$

a.

Quina de les tres funcions té un domini més restrictiu (és a dir, el conjunt de valors de $x$ que admet és menor)? Raona la resposta. [0,5 punts]

b.

Determina el recorregut o imatge de la funció $g(x)$. [0,5 punts]

c.

Troba l'expressió de la composició $(g \circ h)(x)$ i calcula el domini d'aquesta nova funció. [1,5 punts]

d.

Calcula l'expressió de la suma $(h + f)(x)$ i indica el seu domini de definició. [1,5 punts]

Problema 2 (1 punt). Construcció d'una funció amb domini compacte

Proposa una funció real de variable real que tingui com a domini exclusivament l'interval tancat $[-3, 3]$. Justifica la teva resposta comprovant que el domini és exactament aquest interval.

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} x + 5 - a & \text{si } x < -1 \\ \ln(x^2) & \text{si } -1 \le x < 1 \\ \frac{3}{x - 1} - \frac{2 - x}{x^2 - 1} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

a.

Quin és el domini de $f(x)$? [1 punt]

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} x + 5 - a & \text{si } x < -1 \\ \ln(x^2) & \text{si } -1 \le x < 1 \\ \frac{3}{x - 1} - \frac{2 - x}{x^2 - 1} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$

b.

Determina quin valor ha de tenir el paràmetre $a$ perquè la funció sigui contínua en el punt d'abscissa $x = -1$. (1 punt)

c.

Estudia la continuïtat de $f(x)$ en l'interval $(-1, +\infty)$. Identifica tots els punts candidats a ser de discontinuïtat i classifica el tipus de comportament de la funció en cadascun d'ells. (3 punts)