Examen de Matemáticas I UAB 2017 · Parcial Octubre 2017

Problema 1 (4 punts). Dominis, recorregut i operacions de funcions

Donades les tres funcions següents:

$$f(x) = \sqrt{x^2 - 1}, \quad g(x) = \ln x, \quad h(x) = |x^2 - 2|$$

Respon als apartats:

a.

Quina de les tres funcions té el domini més reduït (és a dir, el conjunt de valors que pot prendre $x$ és més petit)? Raona la resposta. [0,5 punts]

b.

Determina la imatge o recorregut de la funció $h(x)$. [0,5 punts]

c.

Troba l'expressió de la funció composta $(g \circ h)(x)$ i calcula el seu domini de definició. [1,5 punts]

d.

Troba l'expressió de la funció suma $(h + f)(x)$ i estableix el seu domini. [1,5 punts]

Problema 2 (1 punt). Existència de límit exponencial

Argumenta de manera detallada per quina raó el límit següent no existeix tal com està formulat:

$$\lim_{x \to 0} (x + e)^{\frac{1}{x}}$$

a.

b.

c.

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} a + \dfrac{2}{x} & \text{si } x < 1 \\[2ex] x - 5 & \text{si } 1 \le x < 2 \\[2ex] \left(\dfrac{x^2 - 3}{x - 1}\right)^{\left(\frac{1}{x-2}\right)} & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$

a.

Quin és el domini d'aquesta funció? (1 punt)

Es considera la funció definida a trossos:

$$f(x) = \begin{cases} a + \dfrac{2}{x} & \text{si } x < 1 \\[2ex] x - 5 & \text{si } 1 \le x < 2 \\[2ex] \left(\dfrac{x^2 - 3}{x - 1}\right)^{\left(\frac{1}{x-2}\right)} & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$$

b.

Quin valor ha de tenir el paràmetre $a$ perquè la funció sigui contínua en el punt $x = 1$? (1 punt)

c.

Estudia la continuïtat de la funció en l'interval $(1, +\infty)$: indica quins són els possibles punts de discontinuïtat i determina si efectivament s'hi produeix una discontinuïtat o no. (3 punts)