Examen de Matemáticas I UAB 2017 · Final - Curs 2017-2018 (Permuta 2)

Problema 1 (1 punt). Composició de funcions i domini

Considerant les funcions expressades a continuació, determineu l'expressió analítica de la funció composta $(f \circ g)(x)$ i trobeu de manera justificada el seu domini de definició:$$f(x) = \frac{1}{4 - x}, \quad g(x) = \sqrt{x - 3}$$

Problema 2 (2 punts). Continuïtat i derivabilitat d'una funció a trossos

Es considera la funció definida a trossos següent:$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2x^2}{x^2 - 4} & \text{si } -2 < x \le 0 \\[2ex] \ln(2x + a) & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

a.

Trobeu el valor que ha de prendre el paràmetre $a$ per tal que $f(x)$ sigui contínua en el punt $x = 0$. (1 punt)

b.

Per al valor de $a$ obtingut a l'apartat anterior, determineu si la funció és derivable en $x = 0$. Justifiqueu la resposta calculant les derivades laterals. (1 punt)

Sí

No

Donada la funció $$f(x) = \frac{2e^x}{x^3}$$

a.

Calculeu i classifiqueu totes les asímptotes de la funció, justificant els límits corresponents. (1 punt)

c.

Indiqueu els intervals de concavitat i convexitat. (1 punt)

Donada la funció $$f(x) = \frac{2e^x}{x^3}$$

b.

Determineu els intervals de creixement i de decreixement. (1 punt)

d.

Trobeu i classifiqueu (especificant si són relatius o absoluts) els extrems de la funció en l'interval tancat $[2, 7]$. (1 punt)

Problema 4 (1,5 punts). Càlcul d'una integral indefinida

Calculeu la integral indefinida següent, detallant tots els passos del procediment:

$$\int x e^{2x^2} dx$$

Problema 5 (1,5 punts). Càlcul de l'àrea d'una regió

Calculeu l'àrea de la regió ombrejada de la figura següent, delimitada per la gràfica de la funció $f(x) = x^3 - 1$, les rectes verticals $x = -2$ i $x = 2$, i l'eix d'abscisses ($y = 0$):