Exercice 1 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 1)

On compte quatre groupes sanguins dans l'espèce humaine: A, B, AB et O.

Chaque groupe sanguin peut présenter un facteur rhésus. Lorsqu'il est présent, on dit que le rhésus est positif, sinon on dit qu'il est négatif.

Au sein de la population française, on sait que:

45 % des individus appartiennent au groupe A, et parmi eux 85 % sont de rhésus positif;

10 % des individus appartiennent au groupe B, et parmi eux 84 % sont de rhésus positif;

3 % des individus appartiennent au groupe AB, et parmi eux 82 % sont de rhésus positif.

On choisit au hasard une personne dans la population française.

On désigne par:

$A$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin A »;

$B$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin B »;

$AB$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin AB »;

$O$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin O »;

$R$ l'évènement « La personne choisie a un facteur rhésus positif ».

Pour un événement quelconque $E$, on note $\overline{E}$ l'événement contraire de $E$ et $P(E)$ la probabilité de $E$.

5. Lors d'une collecte de sang, on choisit un échantillon de 100 personnes dans la population d'une ville française. Cette population est suffisamment grande pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 100 personnes associe le nombre de donneurs universels dans cet échantillon. (On rappelle que la probabilité qu'un individu soit donneur universel est $p = 0{,}0714$).

a)

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

$n =$, $p =$

b)

Déterminer à $10^{-3}$ près la probabilité qu'il y ait au plus 7 donneurs universels dans cet échantillon: $P(X \le 7)$.

c)

Montrer que l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est égale à $7{,}14$ et que sa variance $V(X)$ est égale à $6{,}63$ à $10^{-2}$ près.