Exercice 1 - Partie A (question 5) · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 2)

Exercice 1 (5 points)

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Dans cet exercice, on s'intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours d'un week-end.

Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.

Partie A

Le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation au roller composée de deux séances de cours. On choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule.

On désigne par $A$ et $B$ les évènements suivants:

$A$: « La personne chute pendant la première séance »;

$B$: « La personne chute pendant la deuxième séance ».

Pour un événement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ son événement contraire.

Des observations permettent d'admettre que $P(A) = 0{,}6$.

De plus on constate que:

Si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0{,}3$;

Si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0{,}4$.

5. On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance. On assimile le choix d'un échantillon de $100$ personnes à un tirage avec remise. On admet que la probabilité qu'une personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est de $0{,}24$.

a.

Montrer que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b.

Quelle est la probabilité d'avoir, dans un échantillon de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, au moins $20$ personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ?

c.

Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.