Exercice 3 - Partie A · Bac Mathématiques Métropole 1 remplacement 2023

Exercice 3 (4 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants:

Si un individu est allergique, le test est positif dans 97 % des cas;

Si un individu n'est pas allergique, le test est négatif dans 95,7 % des cas.

Par ailleurs, 20 % des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note:

$A$ l'événement « l'individu est allergique »;

$T$ l'événement « l'individu présente un test positif ».

On notera $\overline{A}$ et $\overline{T}$ les événements contraires de $A$ et $T$.

On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l'événement $A: x = p(A)$.

Partie A

1.

Reproduire et compléter l'arbre ci-contre décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante:

2.

a.

Démontrer l'égalité: $p(T) = 0{,}927x + 0{,}043$.

b.

En déduire la probabilité que l'individu choisi soit allergique.

3.

Justifier par un calcul l'affirmation suivante:

« Si le test d'un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de 80% de chances que cet individu soit allergique ».