Exercice B · Bac Mathématiques Métropole Candidat libre 2021 (sujet 1)

Thème : Primitives et équations différentielles · Tiré du sujet Métropole Candidat libre 1 (2021)

Énoncé

Exercice B

Principaux domaines abordés:

Équations différentielles; fonction exponentielle.

On considère l'équation différentielle $(E): y' = y + 2xe^x$ .

On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels qui sont solutions de cette équation.

Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = x^2e^x$ . On admet que $u$ est dérivable et on note $u'$ sa fonction dérivée. Démontrer que $u$ est une solution particulière de $(E)$ .

2. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ . On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par: $g(x) = f(x) - u(x)$ .

Démontrer que si la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ alors la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle: $y' = y$ .

On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.

À l'aide de la résolution de l'équation différentielle $y' = y$ , résoudre l'équation différentielle $(E)$ .

3. Étude de la fonction $u$

Étudier le signe de $u'(x)$ pour $x$ variant dans $\mathbb{R}$ .

Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur $\mathbb{R}$ (les limites ne sont pas demandées).

Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave.

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Corrigé

Corrigé proposé par AprenAI (non officiel)

1. Démontrer que u est une solution particulière de (E).

Réponse : $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $u'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = (x^2 + 2x)e^x$ D'autre part : $u(x) + 2xe^x = x^2 e^x + 2xe^x = (x^2 + 2x)e^x$ On a donc bien $u'(x) = u(x) + 2xe^x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , ce qui prouve que $u$ est une solution particulière de $(E)$ .

2.a. Démontrer que si la fonction f est solution de l'équation différentielle (E) alors la fonction g est solution de l'équation différentielle : y' = y.

Réponse : Comme $f$ et $u$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ , $g = f - u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ : $g'(x) = f'(x) - u'(x)$ Si $f$ est solution de $(E)$ , alors $f'(x) = f(x) + 2xe^x$ . De plus, $u$ étant solution de $(E)$ , on a $u'(x) = u(x) + 2xe^x$ . Par soustraction membre à membre : $g'(x) = (f(x) + 2xe^x) - (u(x) + 2xe^x) = f(x) - u(x) = g(x)$ Ainsi, $g$ vérifie $g' = g$ , ce qui prouve que $g$ est solution de l'équation différentielle $y' = y$ .

2.b. À l'aide de la résolution de l'équation différentielle y' = y, résoudre l'équation différentielle (E).

Réponse : $f(x) = (x^2 + C)e^x$ / $f(x) = x^2 e^x + C e^x$ , avec $C \in \mathbb{R}$

Les réponses des 3 questions restantes et l’explication pas à pas sont réservées aux membres Premium. Premium

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