Exercice 4 - Limites et continuité · Bac Mathématiques Métropole 2026 (sujet 2)

Thème : Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires · Tiré du sujet Métropole France 2 (2026)

Énoncé

Exercice 4 (6 points)

Partie A

Soit ff une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative Cf\mathcal{C}_f dans un repère orthogonal. On note f′f' sa fonction dérivée.

On précise que:

la courbe Cf\mathcal{C}_f admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point CC d'abscisse 1;

la tangente TAT_A à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point A(12 ; 0)A\left(\frac{1}{2}\,;\,0\right) passe par le point B(1 ; e2)B(1\,;\,\mathrm{e}^2).

Partie B

Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-contre (Fig. 1). La dimension de 0,3 cm0{,}3\text{ cm} indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client.

L'industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l'aide d'une portion de la courbe de la fonction ff vue en partie A, et de l'image de cette portion par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, sur un intervalle [0,5 ; α][0{,}5\,;\,\alpha].

Le nombre α\alpha est un réel supérieur à 1 que l'on déterminera dans cette partie.

L'ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig. 2) d'unité 1 cm1\text{ cm}.

On admet que la fonction ff est définie sur l'intervalle [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ par:

f(x)=(2x−1)e−2x+3f(x) = (2x - 1)\mathrm{e}^{-2x+3}

Partie C

On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d'acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la partie B. On précise que cette plaque a une épaisseur de 0,2 cm0{,}2\text{ cm}.

Partie B

1.a.

Vérifier que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [0;+∞[[0; +\infty[:f(x)=e2×2x−1e2x−1f(x) = e^2 \times \frac{2x - 1}{e^{2x-1}}

1.b.

En déduire la limite de ff en +∞+\infty. (On pourra poser X=2x−1X = 2x - 1).

3.

Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l'égalité f(α)=0,15f(\alpha) = 0{,}15. Montrer qu'il existe une unique valeur de α\alpha dans l'intervalle [1;+∞[[1; +\infty[ qui permette de vérifier cette égalité. En donner une valeur arrondie au dixième.

Énoncé: Exercice 4 - Limites et continuité · Bac Mathématiques Métropole 2026 (sujet 2)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. a. Vérifier que pour tout réel xx appartenant à l'intervalle [0;+∞[[0 ; +\infty[ : f(x)=e2×2x−1e2x−1f(x) = e^2 \times \frac{2x - 1}{e^{2x-1}}

Réponse : Pour tout x∈[0;+∞[x \in [0 ; +\infty[, −2x+3=2−(2x−1)-2x + 3 = 2 - (2x - 1). Ainsi e−2x+3=e2e−(2x−1)=e2e2x−1e^{-2x+3} = e^2 e^{-(2x-1)} = \frac{e^2}{e^{2x-1}}, d'où f(x)=e2×2x−1e2x−1f(x) = e^2 \times \frac{2x-1}{e^{2x-1}}.

1. b. En déduire la limite de ff en +∞+\infty.

Réponse : 0

3. Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l'égalité f(α)=0,15f(\alpha) = 0{,}15. Montrer qu'il existe une unique valeur de α\alpha dans l'intervalle [1;+∞[[1 ; +\infty[ qui permette de vérifier cette égalité.

Réponse : L'écart vertical entre les deux courbes symétriques vaut f(α)−(−f(α))=2f(α)=0,3f(\alpha) - (-f(\alpha)) = 2f(\alpha) = 0{,}3, d'où f(α)=0,15f(\alpha) = 0{,}15. La fonction ff est continue et strictement décroissante sur [1;+∞[[1 ; +\infty[, avec f(1)=e≈2,72>0,15f(1) = e \approx 2{,}72 > 0{,}15 et lim⁡x→+∞f(x)=0<0,15\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0 < 0{,}15. D'après le corollaire du TVI, il existe une unique solution α∈[1;+∞[\alpha \in [1 ; +\infty[.

3. En donner une valeur arrondie au dixième.

Réponse : 3,3

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