Exercice 2 - Limite de fonction · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 1)

Exercice 2

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\;\ +\infty[$. On admet qu'elle est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\;\ +\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous:

la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, sur l'intervalle $]0\;\ 3]$;

la droite $T_A$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(1\;\ 2)$;

la droite $T_B$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B(\mathrm{e}\;\ \mathrm{e})$.

On précise par ailleurs que la tangente $T_A$ passe par le point $C(3\;\ 0)$.

Partie B: Étude de la fonction $f$

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:$$f(x) = x\left(2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2\right)$$

2.

Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$.

(On admettra que la limite de $f$ en $0$ est égale à $0$.)