Exercice 2 - Limites · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2023

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x) = (2 - \ln x) \times \ln x$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $\mathcal{C}'$ la courbe représentative de la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$.

La courbe $\mathcal{C}'$ est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale $(T)$.

2.

a.

Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

b.

Calculer $\lim_{x \to 0} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.