Exercice 2 - Calcul d'aire · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 1)

Exercice 2

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\;\ +\infty[$. On admet qu'elle est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0\;\ +\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous:

la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, sur l'intervalle $]0\;\ 3]$;

la droite $T_A$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A(1\;\ 2)$;

la droite $T_B$, tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $B(\mathrm{e}\;\ \mathrm{e})$.

On précise par ailleurs que la tangente $T_A$ passe par le point $C(3\;\ 0)$.

Partie C: Calcul d'aire

1.

Justifier que la tangente $T_B$ a pour équation réduite $y = 2x - \mathrm{e}$.

2.

À l'aide d'une intégration par parties, montrer que:$$\int_1^\mathrm{e} x \ln x \,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^2 + 1}{4}$$

3.

On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré sur la figure, délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $T_B$, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \mathrm{e}$.

On admet que $\displaystyle\int_1^\mathrm{e} x(\ln x)^2 \,\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^2 - 1}{4}$.

En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unité d'aire.