Exercice 4 - Partie C · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 2)

Exercice 4 (6 points)

L'objet de cet exercice est l'étude de l'arrêt d'un chariot sur un manège, à partir du moment où il entre dans la zone de freinage en fin de parcours.

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

On modélise la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage, exprimée en mètre, en fonction de $t$, à l'aide d'une fonction notée $d$ définie sur $[0\,;+\infty[$.

On a ainsi $d(0) = 0$.

Par ailleurs, on admet que cette fonction $d$ est dérivable sur son ensemble de définition. On note $d'$ sa fonction dérivée.

Partie A

Sur la figure (Fig. 2) ci-dessous, on a tracé dans un repère orthonormé:

la courbe représentative $\mathcal{C}_d$ de la fonction $d$;

la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_d$ au point $A$ d'abscisse 4,7;

l'asymptote $\Delta$ à $\mathcal{C}_d$ en $+\infty$.

Partie C

On rappelle que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$:

$$v(t) = (12 + t)\mathrm{e}^{-0{,}6t}.$$

On admet que pour tout réel $t$ dans l'intervalle $[0\,;\,+\infty[$:

$$d(t) = \int_{0}^{t} v(x)\,\mathrm{d}x.$$

1.

À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la distance parcourue par le chariot entre les instants $0$ et $t$ est donnée par:

$$d(t) = \mathrm{e}^{-0{,}6t}\left(-\frac{5}{3}t - \frac{205}{9}\right) + \frac{205}{9}.$$

2.

On rappelle que le dispositif d'arrêt se déclenche lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 1 mètre par seconde. Déterminer, selon ce modèle, une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage avant le déclenchement de ce dispositif.