Exercice 4 - Calcul intégral · Bac Mathématiques Métropole 2026 (sujet 1)

Fonction $f$

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1; +\infty[$ par:

$$f(x) = a + \frac{b\ln(x + 1)}{x + 1}$$ où $a$ et $b$ sont des réels, et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]-1; +\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

Partie B: On admet dans la suite de l'exercice que la fonction $f$ est définie sur $]-1; +\infty[$ par:

$$f(x) = 1 + \frac{4\ln(x + 1)}{x + 1}$$

Partie B (suite)

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $]-1; +\infty[$ par: $$f(x) = 1 + \frac{4\ln(x + 1)}{x + 1}$$

5. a.

Montrer que: $$\int_0^2 \frac{\ln(x + 1)}{x + 1}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}(\ln 3)^2$$

5. b.

En déduire l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.

Aire =

Aire $\approx$