Exercice 4 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2024 (jour 1)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$.

On considère:

les points $A(-2; 0; 2)$, $B(-1; 3; 0)$, $C(1; -1; 2)$ et $D(0; 0; 3)$.

la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x = t \\ y = 3t \\ z = 3 + 5t \end{cases}$ avec $t \in \mathbb{R}$

la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x = 1 + 3s \\ y = -1 - 5s \\ z = 2 - 6s \end{cases}$ avec $s \in \mathbb{R}$

1.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2.a.

Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.

2.b.

Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est: $x + 3y + 5z - 8 = 0$.

2.c.

En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.

3.a.

Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.

On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $C$.

3.b.

Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

4.a.

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur le plan $(ABC)$.

4.b.

Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. Arrondir le résultat au centième.