Exercice 3 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2023 (jour 2)

La figure ci-dessous correspond à la maquette d'un projet architectural.

Il s'agit d'une maison de forme cubique $(ABCDEFGH)$ accolée à un garage de forme cubique $(BIJKLMNO)$ où $L$ est le milieu du segment $[BF]$ et $K$ est le milieu du segment $[BC]$.

Le garage est surmonté d'un toit de forme pyramidale $(LMNOP)$ de base carrée $LMNO$ et de sommet $P$ positionné sur la façade de la maison.

On munit l'espace du repère orthonormé $(A; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ avec $\vec{i} = \frac{1}{2}\vec{AB}$, $\vec{j} = \frac{1}{2}\vec{AD}$ et $\vec{k} = \frac{1}{2}\vec{AE}$.

1. a.

Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $H$, $M$ et $N$.

1. b.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HM)$.

2.

L'architecte place le point $P$ à l'intersection de la droite $(HM)$ et du plan $(BCF)$.

Montrer que les coordonnées de $P$ sont $\left(2; \frac{2}{3}; \frac{4}{3}\right)$.

3. a.

Calculer le produit scalaire $\vec{PM} \cdot \vec{PN}$.

3. b.

Calculer la distance $PM$.

3. c.

On admet que la distance $PN$ est égale à $\frac{\sqrt{11}}{3}$.

Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l'angle $\widehat{MPN}$ ne dépasse pas $55^\circ$. Le toit pourra-t-il être construit ?

4.

Justifier que les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont sécantes. Quel est leur point d'intersection ?