Exercice 1 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 2)

1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan de l'espace.

Réponse : Les vecteurs $\vec{AB}(1; 1; -4)$ et $\vec{AC}(0; 1; -2)$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés, ils définissent donc un plan.

2. Démontrer que le vecteur n est un vecteur normal au plan (ABC).

Réponse : $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$, donc $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.

3. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Réponse : $2x + 2y + z - 5 = 0$ / $4x + 4y + 2z - 10 = 0$

4. Vérifier que le point H appartient au plan (ABC).

Réponse : En remplaçant les coordonnées de $H(0; 2; 1)$ : $2(0) + 2(2) + 1 - 5 = 0$, donc $H \in (ABC)$.

5. Déterminer la mesure en degré de l'angle BAH.

Réponse : $45$

6. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) orthogonale au plan (ABC) et passant par le point H.

Réponse : $\begin{cases} x = 2t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

7. Déterminer les coordonnées du point S(x_S; y_S; z_S) de la droite (d) tel que la distance entre S et (ABC) est 6 et x_S > 0.

Réponse : (4; 6; 3)