Exercice 2 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2022 (jour 1)

Exercice 2 (7 points)

Thème: Géométrie dans l'espace

Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points:

$$A(2; 0; 3), \quad B(0; 2; 1), \quad C(-1; -1; 2) \quad \text{et} \quad D(3; -3; -1).$$

1- Calcul d'un angle.

a-

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ et en déduire que les points $A, B$ et $C$ ne sont pas alignés.

b-

Calculer les longueurs $AB$ et $AC$.

c-

À l'aide du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$, déterminer la valeur du cosinus de l'angle $\widehat{BAC}$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré.

°

2- Calcul d'une aire.

a-

Déterminer une équation du plan $P$ passant par le point $C$ et perpendiculaire à la droite $(AB)$.

b-

Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.

c-

En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $E$ du point $C$ sur la droite $(AB)$, c'est-à-dire du point d'intersection entre la droite $(AB)$ et le plan $P$.

d-

Calculer l'aire du triangle $ABC$.

3- Calcul d'un volume.

a-

Soit le point $F(1; -1; 3)$. Montrer que les points $A, B, C$ et $F$ sont coplanaires.

b-

Vérifier que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.

c-

Sachant que le volume d'un tétraèdre est égal au tiers de l'aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.