Exercice 3 - Géométrie dans l'espace · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2023 (jour 1)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 1 (2023)

Énoncé

Exercice 3 (6 points)

On considère le prisme droit ABFEDCGHABFEDCGH, de base ABFEABFE, trapèze rectangle en AA.

On associe à ce prisme le repère orthonormé (A;i⃗,j⃗,k⃗)(A; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) tel que:i⃗=14AB⃗  ;j⃗=14AD⃗  ;k⃗=18AE⃗\vec{i} = \frac{1}{4}\vec{AB} \;; \quad \vec{j} = \frac{1}{4}\vec{AD} \;; \quad \vec{k} = \frac{1}{8}\vec{AE}

De plus on a BF⃗=12AE⃗\vec{BF} = \frac{1}{2}\vec{AE}. On note II le milieu du segment [EF][EF]. On note JJ le milieu du segment [AE][AE].

1.

Donner les coordonnées des points II et JJ.

2.

Soit n⃗\vec{n} le vecteur de coordonnées (−111)\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}.

a. Montrer que le vecteur n⃗\vec{n} est normal au plan (IGJ)(IGJ).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (IGJ)(IGJ).

3.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite dd, perpendiculaire au plan (IGJ)(IGJ) et passant par HH.

4.

On note LL le projeté orthogonal du point HH sur le plan (IGJ)(IGJ). Montrer que les coordonnées de LL sont (83;43;163)\left(\frac{8}{3}; \frac{4}{3}; \frac{16}{3}\right).

5.

Calculer la distance du point HH au plan (IGJ)(IGJ).

6.

Montrer que le triangle IGJIGJ est rectangle en II.

7.

En déduire le volume du tétraèdre IGJHIGJH.

On rappelle que le volume VV d'un tétraèdre est donné par la formule: V=13×(aire de la base)×hauteurV = \frac{1}{3} \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Coordonnées du point I

Réponse : (2 ; 0 ; 6)

1. Coordonnées du point J

Réponse : (0 ; 0 ; 4)

2. a. Montrer que le vecteur n est normal au plan (IGJ).

Réponse : Les vecteurs IG⃗(2;4;−2)\vec{IG}(2 ; 4 ; -2) et IJ⃗(−2;0;−2)\vec{IJ}(-2 ; 0 ; -2) ne sont pas colinéaires. n⃗⋅IG⃗=−1×2+1×4+1×(−2)=0\vec{n} \cdot \vec{IG} = -1 \times 2 + 1 \times 4 + 1 \times (-2) = 0 n⃗⋅IJ⃗=−1×(−2)+1×0+1×(−2)=0\vec{n} \cdot \vec{IJ} = -1 \times (-2) + 1 \times 0 + 1 \times (-2) = 0 Le vecteur n⃗\vec{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IGJ)(IGJ), donc il est normal à ce plan.

2. b. Déterminer une équation cartésienne du plan (IGJ).

Réponse : -x + y + z - 4 = 0 / x - y - z + 4 = 0

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d, perpendiculaire au plan (IGJ) et passant par H.

Réponse : {x=−ty=t+4z=t+8(t∈R)\begin{cases} x = -t \\ y = t + 4 \\ z = t + 8 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

4. Montrer que les coordonnées de L sont (8/3 ; 4/3 ; 16/3).

Réponse : En résolvant le système formé par l'équation du plan et la représentation paramétrique de dd, on obtient −(−t)+(t+4)+(t+8)−4=0  ⟺  3t+8=0  ⟺  t=−83-(-t) + (t+4) + (t+8) - 4 = 0 \iff 3t+8=0 \iff t = -\frac{8}{3}. En remplaçant tt, on trouve x=83x = \frac{8}{3}, y=43y = \frac{4}{3}, z=163z = \frac{16}{3}.

5. Calculer la distance du point H au plan (IGJ).

Réponse : 833\frac{8\sqrt{3}}{3}

6. Montrer que le triangle IGJ est rectangle en I.

Réponse : IG⃗⋅IJ⃗=2×(−2)+4×0+(−2)×(−2)=−4+0+4=0\vec{IG} \cdot \vec{IJ} = 2 \times (-2) + 4 \times 0 + (-2) \times (-2) = -4 + 0 + 4 = 0, donc les vecteurs sont orthogonaux et le triangle est rectangle en II.

7. En déduire le volume du tétraèdre IGJH.

Réponse : 323\frac{32}{3}

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