Exercice 3 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2022 (jour 2)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère les points $A(3; -2; 2)$, $B(6; 1; 5)$, $C(6; -2; -1)$ et $D(0; 4; -1)$.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule:

$$V = \frac{1}{3} \mathcal{A} \times h$$

où $\mathcal{A}$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur correspondante.

1-

Démontrer que les points $A, B, C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.

2- a.

Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.

2- b.

Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.

2- c.

En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.

3- On considère le point $H(5; 0; 1)$.

3- a.

Montrer qu'il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vec{BH} = \alpha \vec{BC} + \beta \vec{BD}$.

3- b.

Démontrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(BCD)$.

3- c.

En déduire la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.

4-

Déduire des questions précédentes l'aire du triangle $BCD$.