Exercice 3 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2024 (jour 2)

1. Donner les coordonnées du point I

Réponse : $(\frac{1}{2}, 0, 0)$

1. Donner les coordonnées du point J

Réponse : $(1, 1, \frac{1}{2})$

2. Montrer que le vecteur EJ est normal au plan (FHI)

Réponse : $\vec{EJ} \cdot \vec{FH} = 0$ et $\vec{EJ} \cdot \vec{FI} = 0$

3. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (FHI) est -2x - 2y + z + 1 = 0

Réponse : $-2x - 2y + z + 1 = 0$

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EJ)

Réponse : $$\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = 1 - \frac{1}{2}t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

5. a. On note K le projeté orthogonal du point E sur le plan (FHI). Calculer ses coordonnées.

Réponse : $(\frac{4}{9}, \frac{4}{9}, \frac{7}{9})$

5. b. Montrer que le volume de la pyramide EFHI est 1/6 cm³

Réponse : $\frac{1}{6}\text{ cm}^3$

5. c. Déduire des deux questions précédentes l'aire du triangle FHI

Réponse : $\frac{3}{4}\text{ cm}^2$ / $0{,}75\text{ cm}^2$