Exercice A · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2021 (jour 1)

EXERCICE A - Géométrie dans l'espace

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points suivants:

$A(2\,;\,-1\,;\,0)$, $B(3\,;\,-1\,;\,2)$, $C(0\,;\,4\,;\,1)$ et $S(0\,;\,1\,;\,4)$.

1.

Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

2. a.

Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.

2. b.

En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

2. c.

Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.

3.

Soit $(d)$ la droite orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $S$. Elle coupe le plan $(ABC)$ en $H$.

3. a.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.

3. b.

Montrer que les coordonnées du point $H$ sont $H(2\,;\,2\,;\,3)$.

4.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est $V = \frac{\text{Aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$.

Calculer le volume du tétraèdre $SABC$.

5. a.

Calculer la longueur $SA$.

5. b.

On indique que $SB = \sqrt{17}$.

En déduire une mesure de l'angle $\widehat{ASB}$ approchée au dixième de degré.

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