Exercice 3 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2026 (jour 1)

Exercice 3 (4 points)

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.

On munit l'espace du repère orthonormal $(A\,;\,\vec{AB},\,\vec{AD},\,\vec{AE})$.

Soit $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu de $[EH]$ et $K$ le milieu de $[AE]$.

1.

Donner les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.

2. a.

Déterminer la valeur du produit scalaire $\vec{AI}\cdot\vec{AJ}$.

2. b.

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{IAJ}$ arrondie au dixième de degré.

°

3. a.

Démontrer que le vecteur $\vec{KC}$ est un vecteur normal au plan $(AIJ)$.

3. b.

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(AIJ)$ est $x + y - \frac{1}{2}z = 0$.

4. a.

Soit $L$ le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(AIJ)$. Déterminer les coordonnées du point $L$.

4. b.

En déduire que la distance du point $C$ au plan $(AIJ)$ est égale à $\frac{4}{3}$.

5. a.

Soit $M$ un point de la droite $(FG)$. On admet que les coordonnées de $M$ sont $(1\,;\,m\,;\,1)$ avec $m$ appartenant à $\mathbb{R}$.

Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IM)$ est

$$\begin{cases} x = \frac{1}{2}s + \frac{1}{2} \\ y = ms \\ z = 1 \end{cases} \quad \text{avec } s \in \mathbb{R}$$

5. b.

Peut-on affirmer que les droites $(IM)$ et $(KC)$ sont coplanaires quelle que soit la valeur de $m$ ? Justifier.