Exercice 3 · Bac Mathématiques Centres étrangers (Afrique) 2021 (jour 2)

EXERCICE 3 (5 points)

$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le centre de la face $ADHE$ et $J$ est un point du segment $[CG]$. Il existe donc $a \in [0; 1]$ tel que $\vec{CJ} = a\vec{CG}$.

On note $(d)$ la droite passant par $I$ et parallèle à $(FJ)$.

On note $K$ et $L$ les points d'intersection de la droite $(d)$ et des droites $(AE)$ et $(DH)$.

On se place dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$.

Partie A: Dans cette partie $a = \frac{2}{3}$

1.

Donner les coordonnées des points $F$, $I$ et $J$.

2.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.

3. a)

Montrer que le point de coordonnées $\left(0; 0; \frac{2}{3}\right)$ est le point $K$.

3. b)

Déterminer les coordonnées du point $L$, intersection des droites $(d)$ et $(DH)$.

4. a)

Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.

4. b)

Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un losange.

4. c)

Le quadrilatère $FJLK$ est-il un carré ?

Partie B: Cas général

On admet que les coordonnées des points $K$ et $L$ sont: $K\left(0; 0; 1 - \frac{a}{2}\right)$ et $L\left(0; 1; \frac{a}{2}\right)$. On rappelle que $a \in [0; 1]$.

1.

Déterminer les coordonnées de $J$ en fonction de $a$.

2.

Montrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.

3.

Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un losange ? Justifier.

4.

Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un carré ? Justifier.