Abitur Sachsen-Anhalt Mathematik 2025 · GK · Teil A · Analytische Geometrie

Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$.

a

Zeigen Sie, dass der Punkt $P(4|3|3)$ nicht auf $g$ liegt.

Geben Sie die Koordinaten eines Punktes $Q$ an, der auf $g$ liegt und sich nur in einer Koordinate von $P$ unterscheidet.

$Q($ $|$ $|$ $)$

Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$.

b

Die Gerade $h$ verläuft parallel zur $y$-Achse und schneidet $g$ im Punkt $(8|3|-3)$.

Untersuchen Sie, ob $g$ und $h$ senkrecht zueinander verlaufen.

Ja

Nein

Betrachtet werden die Punkte $P(3|1|-1)$ und $Q(4|2|-4)$.

a

Begründen Sie, dass die Punkte $P$ und $Q$ auf derselben Seite bezüglich der $xy$-Ebene liegen.

Betrachtet werden die Punkte $P(3|1|-1)$ und $Q(4|2|-4)$.

b

Die Punkte $P$, $Q$ und der Koordinatenursprung $O$ sind die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Basis $\overline{OQ}$ die Länge 6 hat.

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

Gegeben sind die Punkte $P(0|-1|1)$ und $Q(2|5|3)$.

Durch Spiegelung des Punktes $P$ am Punkt $Q$ entsteht der Punkt $P'$. Ermitteln Sie die Koordinaten von $P'$.

$P'\Big($

$|$

$|$

$\Big)$

Gegeben sind die Punkte $P(0|-1|1)$ und $Q(2|5|3)$.

Die Ebene $E$ hat die Gleichung $E: x_1 + 3x_2 + x_3 = 20$. Weisen Sie nach, dass $Q$ in $E$ liegt und der Vektor $\vec{PQ}$ ein Normalenvektor von $E$ ist.

Die Ebene E wird durch die Gleichung $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r, s \in \mathbb{R}$ beschrieben.

a

Zeigen Sie, dass der Vektor $\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ senkrecht zur Ebene E steht. [2 BE]

b

Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punkts P mit folgender Eigenschaft:

Wird der Punkt P an der Ebene E gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt P den Abstand 20. [3 BE]

P( | |)

Die Ebene E wird durch die Gleichung $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r, s \in \mathbb{R}$ beschrieben.

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:$$\begin{array}{lrcrl} \text{I} & 2x - y - 2z & = & 11 \\ \text{II} & x + 4z & = & -6 \end{array}$$

a

Weisen Sie nach, dass $x=2$, $y=-3$, $z=-2$ eine Lösung dieses Gleichungssystems ist. [1 BE]

b

Das Gleichungssystem wird durch eine weitere Gleichung ergänzt:$$\text{III} \quad 3x - y + 2z = a$$

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt einen reellen Wert von $a$, für den das aus I, II und III bestehende Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. [4 BE]