Aufgabe 2.2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Analytische Geometrie 2025

Die Ebene E wird durch die Gleichung $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r, s \in \mathbb{R}$ beschrieben.

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem:$$\begin{array}{lrcrl} \text{I} & 2x - y - 2z & = & 11 \\ \text{II} & x + 4z & = & -6 \end{array}$$

a

Weisen Sie nach, dass $x=2$, $y=-3$, $z=-2$ eine Lösung dieses Gleichungssystems ist. [1 BE]

b

Das Gleichungssystem wird durch eine weitere Gleichung ergänzt:$$\text{III} \quad 3x - y + 2z = a$$

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt einen reellen Wert von $a$, für den das aus I, II und III bestehende Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. [4 BE]