Abitur Sachsen-Anhalt Mathematik 2025 · GK · Teil A · Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{8}x^2-1$. Die Abbildung zeigt den Graphen $G$ von $f$. Die Tangente an $G$ im Punkt $P(4\mid 1)$ wird mit $t$ bezeichnet.

a

Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung von $t$.

[3 BE]

$y =$

b

Es gibt genau eine weitere Tangente an $G$, die parallel zu $t$ verläuft. Skizzieren Sie diese in der Abbildung.

[2 BE]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{8}x^2-1$. Die Abbildung zeigt den Graphen $G$ von $f$. Die Tangente an $G$ im Punkt $P(4\mid 1)$ wird mit $t$ bezeichnet.

1 Aufgabe

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x) = 4x^3 - 6x$.

a

Bestimmen Sie die Stammfunktion $F$ von $f$, deren Graph durch den Punkt $(1|0)$ verläuft. [3 BE]

b

Begründen Sie, ohne zu rechnen, dass $\int_{-3}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ ist. [2 BE]

2 Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 2e^x - 2e$.

a

Weisen Sie nach, dass $1$ eine Nullstelle von $f$ ist. [1 BE]

b

Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechnen Sie ihren Inhalt. [4 BE]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-x^2$. Die Abbildung zeigt ein zu beiden Koordinatenachsen symmetrisches Quadrat mit der Seitenlänge 2 sowie den Graphen von $f$.

a

Der Graph von $f$ wird um 1 in y-Richtung verschoben. Skizzieren Sie den verschobenen Graphen in der Abbildung.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-x^2$. Die Abbildung zeigt ein zu beiden Koordinatenachsen symmetrisches Quadrat mit der Seitenlänge 2 sowie den Graphen von $f$.

b

Der Graph von $f$ wird nun um $c$ mit $c > 0$ in y-Richtung verschoben, sodass der Graph das Quadrat in zwei Flächen gleichen Inhalts teilt. Berechnen Sie $c$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-x^2$. Die Abbildung zeigt ein zu beiden Koordinatenachsen symmetrisches Quadrat mit der Seitenlänge 2 sowie den Graphen von $f$.

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = -x^2 + 4x - 1$.

Betrachtet wird die Gleichung $\frac{f(x) - 0}{x - 0} = f'(x)$.

a

Geben Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ an und ermitteln Sie rechnerisch die Lösungen der Gleichung. [3 BE]

b

Geben Sie die geometrische Bedeutung der Gleichung an, die sich für deren Lösungen ergibt. [2 BE]